Question

如图，经过原点的两条直线l₁、l₂分别与双曲线y=

k

x

（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）．
（1）求k值及B点坐标；
（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积；
（3）若P点坐标为（m，n），且∠APB=90°，求P点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据分别莲花山图象上点的坐标特征得到k=3×1=3，再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-3，-1）；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a=1，即P点坐标为（1，3），再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点P与点Q关于原点对称，所以点Q的坐标为（-1，-3），由于OA=OB，OP=OQ，则根据平行四边形的判定得到四边形APBQ为平行四边形，然后根据两点间的距离公式计算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判断四边形APBQ为矩形，再计算出PA和PB，然后计算矩形APBQ的面积；
（3）前面已经证明四边形APBQ为平行四边形，加上∠APB=90°，则可判断四边形APBQ为矩形，则OP=OA，根据两点间的距离公式得到m²+n²=10，且mn=3，则利用完全平方公式得到（m+n）²-2mn=10，可得到m+n=4，根据根与系数的关系可把m、n看作方程x²-4x+3=0的两根，然后解方程可得到满足条件的P点坐标．

解答：解：（1）把A（3，1）代入y=

k

x

得k=3×1=3，
∵经过原点的直线l₁与双曲线y=

k

x

（k≠0）相交于A、B、
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=

3

x

得3a=3，解得a=1，
∵P点坐标为（1，3），
∵经过原点的直线l₂与双曲线y=

k

x

（k≠0）相交于P、Q点，
∴点P与点Q关于原点对称，
∴点Q的坐标为（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PA²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四边形APBQ为矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4

2

，PQ=2

2

，
∴四边形APBQ的面积=PA•PB=2

2

•4

2

=16；
（3）∵四边形APBQ为平行四边形，
而∠APB=90°，
∴四边形APBQ为矩形，
∴OP=OA，
∴m²+n²=3²+1²=10，
而mn=3，
∵（m+n）²-2mn=10，
∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=-4（舍去），
把m、n看作方程x²-4x+3=0的两根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），
∴P点坐标为（1，3）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象与反比例函数图象的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质．