题目内容
如图，已知Rt△ABC，以斜边AB为斜边作等腰Rt△ABD，连接CD，若AC=5，CD=| 2 |
考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：以D为圆心，以CD为半径画弧，交BC于F，连接DF，求出∠BAD=45°，A、C、D、B四点共圆，根据圆内接四边形的性质得出∠DCF=∠DAB=45°，推出∠CDA=∠FDB，根据SAS推出△ADC≌△BDF，求出BF=AC=5，由勾股定理求出CF=2，求出BC即可．
解答：解：
以D为圆心，以CD为半径画弧，交BC于F，连接DF，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠BAD=45°，A、C、D、B四点共圆，
∴∠DCF=∠DAB=45°，
∵CD=DF，
∴∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠CDA=∠FDB=90°-∠ADF，
在△ADC和△BDF中
∴△ADC≌△BDF，
∴BF=AC=5，
在Rt△CDF中，CD=DF=
，∠CDF=90°，由勾股定理得：CF=2，
∴BC=2+5=7，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=
=
=
，
故答案为
．
以D为圆心，以CD为半径画弧，交BC于F，连接DF，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠BAD=45°，A、C、D、B四点共圆，
∴∠DCF=∠DAB=45°，
∵CD=DF，
∴∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠CDA=∠FDB=90°-∠ADF，
在△ADC和△BDF中
|
∴△ADC≌△BDF，
∴BF=AC=5，
在Rt△CDF中，CD=DF=
| 2 |
∴BC=2+5=7，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=
| AC2+BC2 |
| 52+72 |
| 74 |
故答案为
| 74 |
点评：本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键求出BC的长，难点是能正确作出辅助线．
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