Question

【题目】在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD=BC．

（1）△ABC的形状为　　　　．

（2）如图，BM=3，BC=12，∠B=45°，∠MAN=45°，求CN；

（3）在（2）的条件下，AN=　　　　．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）CN=4；（3）．

【解析】

（1）已知BD=DC，AD=BC，得DA=DB=DC，所以，又因为，可得∠BAC=，所以△ABC为直角三角形．

（2）设CN=x．ACB=∠B=45°，可得AB=AC．因为BD=DC，可得AD⊥BC，将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．证明△NAM≌△NAH，可得MN=NH．根据NH2=CH2+CN2，列出方程(9﹣x)2=x2+32，解得CN=x=4

（3）在Rt△ADN中，∠ADN=90°，AD= 6，DN=2，利用勾股定理即可求得AN=

（1）结论：△ABC是直角三角形．

理由：∵BD=DC，AD=BC，

∴DA=DB=DC，

∴

∵

∴∠BAC=

故答案为：直角三角形．

（2）如图，设CN=x．

∵∠B=45°，∠BAC=90°，

∴∠ACB=∠B=45°，

∴AB=AC．

∵BD=DC，

∴AD⊥BC，

将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．

∵∠ACB=∠ACH=∠B=45°，

∴∠NCH=90°．

∵∠MAN=45°，∠MAH=90°，

∴∠NAM=∠NAH=45°．

∵NA=NA，AM=AH，

∴△NAM≌△NAH(SAS)，
∴MN=NH．

∵BM=CH=3，BC=12，

∴CM=12﹣3=9，

∴MN=NH=9﹣x．

∵NH2=CH2+CN2，

∴(9﹣x)2=x2+32，

解得：x=4，

∴CN=4．

（3）在Rt△ADN中，

∵∠ADN=90°，AD=BD=CD=6，DN=CD﹣CN=6﹣4=2，

∴AN=

故答案为：