Question

7．如图，已知直线y=ax与双曲线$y=\frac{k}{x}（k＞0）$交于A、B两点，点B的坐标为B（-2，-1），C为双曲线$y=\frac{k}{x}（k＞0）$上一点，且在第一象限内．
（1）k=2；
（2）若三角形AOC的面积为$\frac{3}{2}$，则点C的坐标为（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入$y=\frac{k}{x}（k＞0）$中，可求得k的值；
（2）把B点坐标代入y=ax，可求得a的值，联立直线和双曲线解析式可求得A点坐标，分别过点A、C作x轴的垂线，交x轴于点E、D，设出C点坐标，可表示出△AOC的面积，可得到方程，求解即可．

解答 解：
（1）∵B（-2，-1）在双曲线上，
∴k=-2×（-1）=2，
故答案为：2；  
（2）由（1）可知双曲线解析式为y=$\frac{2}{x}$，
把B点坐标代入直线y=ax可得-2a=-1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
联立直线和双曲线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（2，1），
∵C点为双曲线上一点，且在第一象限内，
∴可设C点坐标为（x，$\frac{2}{x}$），其中x＞0，
如图，分别过点A、C作x轴的垂线，交x轴于点E、D，

则CD=$\frac{2}{x}$，OD=x，OE=2，AE=1，
∴DE=|2-x|，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OE•AE=$\frac{1}{2}$×2×1=1，S_△COD=$\frac{1}{2}$OD•CD=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{x}$=1，S_梯形ACDE=$\frac{1}{2}$（AE+CD）DE=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|，
∴S_{四边形ACOE}=S_△OCD+S_梯形ACDE=1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|，
∴S_△AOC=S_{四边形ACOE}-S_△AOE，
即$\frac{3}{2}$=1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x}$）|2-x|-1，
解得x=1或x=4，
∴C点坐标为（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（1，2）或（4，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数图象的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．