Question

19．在一块直角三角形空地上挖一个矩形水池，要求矩形水池的两条边在直角三角形空地的直角边上．若测得直角三角形空地的一条直角边长为60m，斜边长为100m，则水池的最大面积是（　　）

• A． 1200m²
• B． 1300m²
• C． 1600m²
• D． 1140m²

Answer 1

分析 先画出几何图形，再利用勾股定理计算出BC=80，设CD=x，则AD=AC-CD=60-x，通过证明△ADE∽△ACB得到相似比$\frac{60-x}{60}$=$\frac{DE}{80}$，则可用x表示DE，然后用x表示出矩形CDEF的面积，再利用二次函数的性质求面积的最大值．

解答 解：如图，∠C=90°，AC=60m，AB=100m，矩形CDEF为Rt△ACB的内接矩形，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80，
设CD=x，则AD=AC-CD=60-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{60-x}{60}$=$\frac{DE}{80}$，
∴DE=$\frac{4}{3}$（60-x），
∴S_矩形CDEF=CD•DE=x•$\frac{4}{3}$（60-x）=-$\frac{4}{3}$x²+80x（0＜x＜60），
当x=-$\frac{80}{2×（-\frac{4}{3}）}$=30时，S_矩形CDEF有最大值，最大值=$\frac{0-8{0}^{2}}{4×（-\frac{4}{3}）}$=1200（m²）．
即水池的最大面积是1200m²．
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的应用：先构造三角形相似，然后利用对应边成比例可求出相应线段的长．也考查了二次函数的性质．解决本题的关键是用矩形的一边表示出矩形的面积，然后利用函数的性质解决最大值问题．