Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先证明AE=AF，推出BE=CF，根据ASA即可证明．
（2）首先证明殊不知AEDF是矩形，再由邻边相等推出是正方形．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠DFC}\\{BE=CF}\\{∠B=∠C}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF．

（2）∵△BDE≌△CDF，
∴BD=DC，DE=DF，
∵BC=2AD，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等条件，熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．