Question

9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO=BE，连接OE，则∠BOE=75°．

Answer 1

分析 由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，∠ABO=60°，求出∠OBE=30°，根据三角形的内角和定理即可求出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE，
∵BO=BE，
∴AB=BO=OA
∴△BAO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
故答案为75°．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是证明△BAO是等边三角形．