Question

12．如图，直线l₁：y₁=x和直线l₂：y₂=-2x+6相交于点A，直线l₂与x轴交于点B，动点P沿路线O→A→B运动．
（1）求点A的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？
（2）求△AOB的面积；
（3）当△POB的面积是△AOB的面积的一半时，求出这时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）当函数图象相交时，y₁=y₂，即-2x+6=x，再解即可得到x的值，再求出y的值，进而可得点A的坐标；当y₁＞y₂时，图象在直线AB的右侧，进而可得答案；
（2）由直线l₂：y₂=-2x+6求得B的坐标，然后根据三角形面积即可求得；
（3）根据题意求得P的纵坐标，代入两直线解析式求得横坐标，即为符合题意的P点的坐标．

解答 解：（1）∵直线l₁与直线l₂相交于点A，
∴y₁=y₂，即-2x+6=x，解得x=2，
∴y₁=y₂=2，
∴点A的坐标为（2，2）；
观察图象可得，当x＞2时，y₁＞y₂；
（2）由直线l₂：y₂=-2x+6可知，当y=0时，x=3，
∴B（3，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）∵△POB的面积是△AOB的面积的一半，
∴P的纵坐标为1，
∵点P沿路线O→A→B运动，
∴P（1，1）或（$\frac{5}{2}$，1）．

点评 此题主要考查了两直线相交，一次函数与不等式的关系以及三角形面积等，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．