Question

7．已知抛物线y=a（x-1）²-3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，-2），顶点为B．
（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；
（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；
（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（0，-2）代入y=a（x-1）²-3即可得到结论；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b将A、B两点的坐标代入解析式解方程组即可得到结论；
（3）连接EB交x轴于点P，则P点即为所求，求出过E、B点的一次函数解析式为y=-5x+2，即可得到结论；
（4）如图2，设抛物线向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）个单位，得到新的抛物线的顶点C（1+m，-3），解方程组得到两抛物线的交点D（$1+\frac{m}{2}，\frac{m^2}{4}-3$），解一元二次方程得到m=2或m=-3，即可得到结论．

解答 解：（1）把A（0，-2）代入y=a（x-1）²-3得-2=a（0-1）²-3，解得：a=1，
∵顶点为B，
∴B（1，-3）；

（2）设一次函数的解析式为y=kx+b
将A、B两点的坐标代入解析式求得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{-3=k+b}\end{array}\right.$，
∴k=-1，b=-2，
∴写出一次函数的解析式为y=-x-2，；

（3）A点关于x轴的对称点记作E，则E（0，2），
如图1，连接EB交x轴于点P，则P点即为所求，
理由：在△PAB中，AB为定值，
只需PA+PB取最小值即可，
而PA=PE，从而只需PE+PB取最小值即可，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PB≤EB，
∴E、P、B三点在同一条直线上时，取得最小值．
由于过E、B点的一次函数解析式为y=-5x+2，
当y=0时，x=$\frac{2}{5}$，
∴P（$\frac{2}{5}$，0）；

（4）如图2，设抛物线向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）个单位，
则所得新的抛物线的顶点C（1+m，-3），
∴新抛物线解析式为 y=（x-1-m）²-3
解$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1-m）^{2}-3}\\{y=（x-1）^{2}-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{m}{2}}\\{y=\frac{{m}^{2}}{4}-3}\end{array}\right.$，
∴两抛物线的交点D（$1+\frac{m}{2}，\frac{m^2}{4}-3$），
∴经过O、C的一次函数解析式是y=-$\frac{3}{1+m}$x，若 O、C、D在同一直线上，
则 有$\frac{m^2}{4}-3=-\frac{3}{1+m}（1+\frac{m}{2}）$，
化简整理得m³+m²-6m=0，
∵m≠0，
∴m²+m-6=0，解得：m=2或m=-3，
∴O、C、D三点能够在同一直线上，
此时m=2或m=-3．
即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平移的性质，解一元二次方程，轴对称-最短距离问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．