Question

17．已知P是直线y=-$\frac{4}{3}$x+4上的一个动点，以P为圆心作圆，若⊙P的半径为$\frac{12}{5}$，且⊙P与坐标轴有个公共点，设点P横坐标为a，则a的取值范围是-$\frac{12}{5}$≤a≤$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 首先求出直线与坐标轴的交点坐标，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出OC，再求出⊙P与y轴和与x轴相切时的a的值，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
直线y=-$\frac{4}{3}$x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3；
∴A（3，0），B（0，4），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
作OC⊥AB于C，则OC=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴当P与C重合时，⊙P与坐标轴有交点，
当⊙P与y轴相切时，a=-$\frac{12}{5}$；
当⊙P与x轴相切时，-$\frac{4}{3}$x+4=-$\frac{12}{5}$，
解得：x=$\frac{24}{5}$，即a=$\frac{24}{5}$，
∴⊙P与坐标轴有个公共点，设点P横坐标为a，则a的取值范围是-$\frac{12}{5}$≤a≤$\frac{24}{5}$；
故答案为：-$\frac{12}{5}$≤a≤$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征；求出⊙P与y轴和与x轴相切时的a的值是解决问题的关键．