Question

9．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：AD=CN；
②请添加一个条件，使四边形ADCN是矩形．并证明．

Answer 1

分析 ①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN；
②先判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．

解答 解：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠NCA}\\{MA=MC}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
②∠BAN=90°，
∵AD∥CN，AD=CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∵∠BAN=90°，四边形ADCN是平行四边形，
∴四边形ADCN是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．