Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；
（1）联结CE，求证：CE=BE；
（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角，计算出∠4，∠2，∠3的度数为36°，然后再证明CO=EO，进而可得∠5=36°，再根据等角对等边可得CE=BE；
（2）首先根据内错角相等，两直线平行证明DE∥BF，DB∥BC，进而可得四边形DBFE是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠A=180°-72°-72°=36°，
∵AD=BD，
∴∠1=∠A=36°，
∴∠2=36°，
∵∠DBE=72°，
∴∠3=36°，
∵BD=DE，
∴∠DEB=∠DBE=72°，
∴∠BOE=180°-∠3-∠DEB=72°，
∴∠4=∠BOE-∠2=36°，
∴∠2=∠4，
∴DO=BO，
∵∠2=36°，∠ACB=72°，
∴∠BDC=180°-∠2-∠DCB=72°，
∴BC=BD，
∵BD=DE，
∴BC=DE，
∴DE-DO=BC-BO，
∴CO=EO，
∵∠7=∠8，
∴∠5=∠$\frac{180°-∠8}{2}$=$\frac{180°-∠7}{2}$=∠4=36°，
∴∠5=∠3=36°，
∴CE=BE；

（2）∵∠4=∠1=36°，
∴DE∥BF，
∵∠2=∠5=36°，
∴EF∥DB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∵DE=DB，
∴四边形DBFE是菱形．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质和判定，以及菱形的判定，关键是掌握等边对等角，推出∠5=∠3=36°．