Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AE和BD是它的两条高，相交于点H，直线AH交⊙O于点F，求证：EH=EF．

Answer 1

分析 连接BF，由已知条件得出∠H+∠HBE=90°，∠C+∠HBE=90°，证出∠H=∠C，由圆周角定理得出∠C=∠F，得出∠H=∠F，证出BF=BH，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 证明：连接BF，如图所示：
∵△ABC内接于⊙O，AE和BD是它的两条高，
∴∠BEH=∠BDC=90°，
∴∠H+∠HBE=90°，∠C+∠HBE=90°，
∴∠H=∠C，
又∵∠C=∠F，
∴∠H=∠F，
∴BF=BH，
又∵AE⊥BC，
∴EH=EF．

点评 本题考查了三角形的外接圆、三角形的高、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质；通过作辅助线由圆周角定理证出∠H=∠F得出BF=BH是解决问题的关键．