Question

11．如图，将等腰直角三角板放在正方形ABCD的顶点B处，且三角板中BE=EF．连AE，再作EG⊥AE且EG=AE．绕点B旋转三角板，并保证线段FG与正方形的边CD交于点H．
（1）求证：△ABE≌△GFE．
（2）当DH取得最小值时，求∠ABE的度数．
（3）当三角板有两个顶点在边BC上时，求$\frac{GH}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角板和正方形ABCD的特点，直接得到△ABE≌△GFE．
（2）由△ABE≌△GFE得到的条件判断出MH⊥AB，再判断DH最小时的位置，即可；
（3）由△APE≌△ECG得到结论，判断出△HCG是等腰直角三角形，即可求出结果．

解答 解：（1）证明：在△ABE和△GFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FE}\\{∠AEB=∠CEF}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GFE，
（2）如图，∵△ABE≌△GFE，
∴∠BAE=∠FGE，
∵∠AMN=∠EMG，
∴∠ANM=∠MEG=90°，
∴MH⊥AB，
∴四边形ANHG是矩形，
∴DH=AN，
要使DH最小，则BN最大，
∵BN≤BF，
∴当BF与BN重合时，AN最小，
∴∠ABE=∠FBE=45°
（3）如图1，
由（1）知，∴△ABE≌△GFE，
∴AB=FG，∠ABE=∠GFE，
∴BC=FG，FG∥BC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∴∠ECG=∠BFG=135°，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FE，
∴$\frac{HG}{EF}=1$，
∵FG=AB=BC，
∴HG=BF，
∴$\frac{GH}{EF}=\sqrt{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形判定和性质，即二倍体的关键是判断三角形全等．