Question

20．图中的P（2，-5），Q（1，2）和R（8，3）是一个三角形的顶点
（a）证明△PQR是一个等腰三角形．
（b）若S（5，-1）是PR上的一点，证明QS⊥PR．
（c）由此，或用其他方法，求△PQR的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式得到Q=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-5-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，QR=$\sqrt{（1-8）^{2}+（2-3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
于是得到结论；
（2）根据两直线的斜率的积等于-1即可得到结论；
（3）两点间的距离公式和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵P（2，-5），Q（1，2）和R（8，3），
∴PQ=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-5-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，QR=$\sqrt{（1-8）^{2}+（2-3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴PQ=QR，
∴△PQR是一个等腰三角形；

（2）∵直线y_RP=$\frac{4}{3}$x-$\frac{23}{3}$，直线y_QS=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{4}$，
∵$\frac{4}{3}$×（-$\frac{3}{4}$）=-1，
∴QS⊥PR；

（3）△PQR的面积=$\frac{1}{2}$PR•QS=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{（2-8）^{2}+（-5-3）^{2}}$×$\sqrt{（1-5）^{2}+（2+1）^{2}}$=25．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．