Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=30°，以AB为腰作等腰直角三角形ABD，以AC为斜边作等腰直角三角形ACE，连接CD，BE交于点F，求∠DFB的度数．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠AEC=∠ABD=90°，∠CAE=∠BAD=45°，于是得到∠BAE=∠DAC，根据等腰直角三角形的性质得到AE：AC=AB：AD=1：$\sqrt{2}$，推出△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠ADC，根据三角形的内角和定理即可得到结论．

解答 解：∵△ACE，△ABD均为等腰直角三角形，∠AEC=∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠BAD=45°，
∴∠BAE=∠DAC，
且AE：AC=AB：AD=1：$\sqrt{2}$，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
在△AOD和△BOF中，∠AOD=∠BOF，
∴∠BFD=∠BAD=45°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．