题目内容
【题目】我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：
如图1，四边形
中，
为
的中点，
，
是
边上一点，满足
，试判断
是否为四边形的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：
如图2，
中，
，
，
，动点以每秒1个单位的速度，从点
出发向点
运动，动点以每秒6个单位的速度，从点出发沿射线
运动，当点运动至点时，两点同时停止运动．
为线段上任意一点，连接并延长，射线与点
构成的四边形的两边分别相交于点
，设运动时间为
．问为何值时，
为点构成的四边形的准中位线．
（3）应用拓展：
如图3，为四边形的准中位线，
，延长
分别与
，的延长线交于点，请找出图中与
相等的角并证明．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）
或
或
；（3）
，证明见解析．
【解析】
（1）证明
，可得
，又点F为CD中点,即可得出结论；
（2）当
为点
构成的四边形的准中位线．则M、N一定是中点，再分两种情况讨论：
和
，根据平行线分线段成比例列方程即可求解；
（3）连接
，取的中点
，连接
，
得两条中位线，根据中位线定理，得平行，可找到相等角和线段，从而可得
是等腰三角形，进而可得
．
解：（1）
是四边形
的准中位线，理由如下：
∵
，
∴
．
又∵
，
，
∴，
∴
，
∴
．
又∵
为
中点，
∴为四边形的准中位线．
（2）当为点
构成的四边形的准中位线时．
①如图，当
时，则需满足且
为
中点．
∴
，解得：；
②如图，当
时，则需满足且
为
中点．
∴
，解得：
，
．
综上：当或或时，
为点构成的四边形的准中位线．
（3）．证明如下：
如图，连接，取的中点，连接，．
，分别是
，的中点，
∴
，
，
∴
．
∵
分别是
，的中点，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴．
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