Question

5．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，且BC=1，若把△ABC放入如图的直角坐标系中，使斜边AB在x轴，点C在双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上．
（1）求△ABC斜边AB上的高CD；
（2）求点C的坐标；
（3）求点D的坐标；
（4）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求△ABC的边长AC和AB的长，根据面积法求高CD的长；
（2）分两种情况：
①当点C在第一象限的反比例图象上时，如图1，由高得点C的纵坐标代入反比例函数的解析式可求得横坐标；
②当点C在第三象限的反比例图象上时，如图2，同理可求得点C的坐标；
（3）根据两个图形分别求出D的坐标；
（4）根据两个图形分别求出A的坐标．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AB=2BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
$\sqrt{3}$×1=2CD，
CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）分两种情况：
①当点C在第一象限的反比例图象上时，如图1，
∵CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，x=2，
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
②当点C在第三象限的反比例图象上时，如图2，
此时点C的纵坐标为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入到y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，x=-2，
∴C（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
综上所述，点C的坐标为（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）如图1，点D的坐标为（2，0）
如图2，点D的坐标为（-2，0）
综上所述，点D的坐标为（2，0）或（-2，0）；
（4）cos30°=$\frac{AD}{AC}$，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴OA=OD-AD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
如图1，点A的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
如图2，点A的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），
综上所述，点A的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）或（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征和含30°角的直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边是斜边的一半，本题还利用了面积法求直角三角形斜边上的高，这一方法在数学上应用比较广泛，要熟练掌握；本题采用了分类讨论的思想，因为已知中没有说明直角三角形放置的位置，所以要分两种情况进行讨论．