Question

20．（1）猜想：试猜想a²+b²与2ab的大小关系，并说明理由；
（2）应用：已知x-$\frac{1}{x}=5（{x≠0}）$，求x²+$\frac{1}{x^2}$的值；
（3）拓展：代数式x²+$\frac{1}{x^2}$是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．

Answer 1

分析 （1）判断两式大小，利用完全平方公式验证即可；
（2）已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可；
（3）利用得出的规律确定出代数式的最小值即可．

解答 解：（1）猜想a²+b²≥2ab，理由为：
∵a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab；
（2）把x-$\frac{1}{x}$=5两边平方得：（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2=25，
则x²+$\frac{1}{x^2}$=27；  
（3）x²+$\frac{1}{x^2}$≥2，即最小值为2．

点评 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．