Question

8．（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点，点C为x轴上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E，直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．

Answer 1

分析 （1）分三种情况：①当点C在x轴负半轴上时、②当点C在OA的延长线上时、③当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，然后根据角平分线的性质、三角形的内角和、三角形内外角关系求解；
（2）先根据EH平分∠GHF，FE平分∠GFH，得出∠FEF=90°+$\frac{1}{2}$∠G，再根据∠FEH是△EOP的外角，得出∠FEH=90°+∠MPH，进而得出结论∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

解答 解：（1）分三种情况：

①如图①，当点C在x轴负半轴上时，由题意可知：∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∵BE、CE分别平分∠OBC与∠ACB，
∴∠2∠1+2∠3=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠BEC=135°，
即当点C在x轴负半轴上时，∠BEC=135°；
②如图②所示，当点C在OA的延长线上时，
与情况（1）同法可得：∠BEC=135°；
③如图③所示，当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，
∵∠1+∠2=∠3+∠4+90°，
∴2∠1=2∠4+90°，
∴∠1=∠4+45°，
∠1-∠4=45°，即∠BEC=45°，
故当点C在线段OA上（且与点O，A不重合）时，∠BEC=45°；

（2）∠MPH与∠G的数量关系为：∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．
如图2，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，
∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，
又∵FE平分∠GFH，
∴△FEH中，
∠FEF=180°-∠EHF-∠EFH
=180°-$\frac{1}{2}$（∠GHF-∠GFH）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠G）
=90°+$\frac{1}{2}$∠G，
∵∠FEH是△EOP的外角，
∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠G=90°+∠MPH，
即∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及坐标系内图形的性质的综合应用，具有一定难度．解题的关键是要掌握角平分线的性质、三角形的内角和及三角形的内外角的关系，注意分类思想的运用．