Question

3．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 利用菱形的性质和正三角形的特点可证得△BDE≌△BCF；继而可得△BEF为正三角形，然后作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算即可求得答案．

解答 解：菱形ABCD的边长为1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；
设BE=BF=EF=x，
则S=$\frac{1}{2}$•x•x•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
当BE⊥AD时，x最小为：1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_最小=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
当BE与AB重合时，x最大，
∵菱形ABCD的边长为1，
∴AB=1，
∴x最大为1，
∴S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{16}$≤s≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．