Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线；以BC为直径的⊙O交BD于点E，连接CE并延长交AB于点F，连接DF，

（1）补全图中图形；(要求：清晰、准确，标出相应字母，不写作法，不必保留作图痕迹)

（2）DC=DF；

（3）若AC=8，BC=6，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）CF．

【解析】

（1）由题意画出图形；

（2）通过证明△BEF≌△BEC，可得EF=CE，可得BD是CF的垂直平分线，即DF=CD；

（3）由勾股定理可求AB的长，CD的长，BD的长，由三角形面积公式可求CE的长，即可求CF的长．

（1）如图，

（2）∵BC是直径，

∴∠CEB=90°．

∵BD平分∠CBF，

∴∠FBD=∠CBD，且BD=BD，∠CEB=∠BEF=90°，

∴△BEF≌△BEC(ASA)，

∴EF=CE，且BD⊥CF，

∴BD是CF的垂直平分线，

∴DF=CD

（3）∵AC=8，BC=6，

∴AB10．

∵△BEF≌△BEC，

∴BF=BC=6，

∴AF=4，

∵BD是CF的垂直平分线，即点C、点F关于直线BD对称，

∴∠BFD=∠BCD=90°，

∴∠AFD=90°，

在Rt△AFD中，AD2=AF2+DF2，

∴(8﹣CD)2=16+CD2，

∴CD=3，

∴BD3

∵S△BCDBC×CDBD×CE，

∴3×6=3CE，

∴CE，

∴CF=2CE．