Question

17．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AC的中点，联结DE、DM，设∠C=α．
（1）当△ABC是锐角三角形时，试用α表示∠EDM；
（2）当△ABC是钝角三角形时，请画出相应的图形，并用α表示∠EDM（可直接写出）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=DE，CM=DM，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CDE和∠CDM，然后根据∠EDM=∠CDM-∠CDE整理即可得解；
（2）作出图形，然后同（1）表示出∠CDE和∠CDM，再根据∠EDM=∠CDE-∠CDM整理即可得解．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴CD=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠CDE=180°-2∠C=180°-2α，
∵AD⊥BC，M为AC的中点，
∴CM=DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDM=∠C=α，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=α-（180°-2α）=3α-180°；

（2）如图，∠CDE=180°-2∠C=180°-2α，
∠CDM=∠C=α，
∠EDM=∠CDE-∠CDM=180°-2α-α=180°-3α．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质并观察图形得到∠EDM的表示是解题的关键．