Question

已知抛物线的顶点（－1，－4）且过点（0，－3），直线l是它的对称轴。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴于点C，P为l上的一动点，当△PBC的周长最小时，求P点的坐标。
（3）在直线l上是否存在点M，使△MBC是等腰三角形，若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在请说明理由。

Answer 1

（1）（2） （3）

试题分析：（1）抛物线的顶点（－1，－4），则设抛物线的顶点式为，因为抛物线过点（0，－3），所以，解得a=1，所以抛物线的解析式
（2）由（1）知抛物线的解析式
∵直线l是它的对称轴
∴它的对称轴x=-1
抛物线交x轴于点A、B（A在B的左边），令y=0,则，解得x=-3,x=1，所以A点的坐标（-3，0），B点的坐标（1，0）；抛物线交y轴于点C，令x=0,则，所以C点的坐标（0，-3）；P为l上的一动点，当△PBC的周长=PB+PC+BC，因为BC的长度一定，所以要使△PBC的周长最小，即PB+PC最小，作点B关于对称轴的对称点，坐标为（-3，0），即是A点，设过A、C的直线为y=kx+b,则
解得，所以过点A、C的直线为y=x-3,则P点即为直线为y=x-3与对称轴的交点，解得
（3）存在，）直线l为x=-1,它与X轴的交点为N（-1，0），由（2）知B点的坐标（1，0），所以它们两点是关于原点对称，此时这三点构成了等腰三角形，M点即为对称轴与X轴的交点，所以M的坐标（-1，0）；当△MBC是等腰三角形，并以BC为△MBC的底边，设M的坐标为（-1，y）;此时需满足MB=MC，而MB=，MC=，解得y=-1,y=,所以，当y=-1时M的坐标为，当y=，M的坐标为；综上所述满足条件的M的坐标为
点评：本题考查抛物线，要求考生掌握抛物线的性质，会用待定系数法求抛物线的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标，以及对称轴