Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A、B、C三点.

（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）求抛物线的解析式；
（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由.

Answer 1

（1）证明∠CA=∠CAD，∠CAB=∠CA，得∠CAD=∠CAB；（2） （3）抛物线顶点E在直线CD上；理由将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，右边=×3+4==左边，得抛物线顶点E在直线CD上

试题分析：（1）证明：连接C，
∵CD是⊙的切线，
∴C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴C∥AD，
∴∠CA=∠CAD，
∵A=C，
∴∠CAB=∠CA，
∴∠CAD=∠CAB；              
（2）解：①∵AB是⊙的直径，

∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴,
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），             
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；              
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵C∥AD，
∴△FC∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（）；              
设直线DC的解析式为y=kx+m，则，
解得：?，
∴直线DC的解析式为y=x+4，
由=得顶点E的坐标为（3，），
将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，
右边=×3+4==左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；              
点评：本题考查抛物线，要求考生会用待定系数法求抛物线的解析式，会判断一个点是否在函数图象上