Question

如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax²+bx经过点A(4，0)与点（-2，6）．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

Answer 1

（1）y=x²－2x；（2）1.8；（3）（，）

试题分析：（1）由抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）即可根据待定系数法求解；
（2）过点O作OF⊥AD，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．根据切线的性质可得AC⊥AD，即可证得四边形OFAE是矩形，由tan∠AOB=可得sin∠AOB=，即可求得AE、OD的长，当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，再根据勾股定理求解；
（3）设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大，由tan∠AOB=可得直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．点R既在直线l上，又在抛物线上，可得x²－2x=x+b，再根据直线l与抛物线有唯一交点R（相切），可得方程2x²-11x-4b=0有两个相等的实数根，即可得到判别式△=0，从而可以求得结果．
（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴ ，解得a=，b=－2
∴抛物线的解析式为：y=x²－2x；
（2）过点O作OF⊥AD，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．

∵AD为切线，
∴AC⊥AD， 
∴AD∥OB．
∴四边形OFAE是矩形，
∵tan∠AOB=   
∴sin∠AOB=，
∴AE=OA·sin∠AOB=4×=2.4，
OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×=3．
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．
则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=，
∴t=1.8秒；
（3）设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），
此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．  
∵tan∠AOB=    
∴直线OB的解析式为y=x，
由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．
∵点R既在直线l上，又在抛物线上，
∴x²－2x=x+b，化简得：2x²-11x-4b=0．
∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），
∴方程2x²-11x-4b=0有两个相等的实数根
∴判别式△=0，即11²+32b=0，解得b=，
此时原方程的解为x=，即x_R= ，
而y_R=x_R²－2x_R=
∴点R的坐标为R（，）．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.