Question

已知关于x的方程x²+kx-

3

4

k²=0（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此方程总有两个不等的实数根x₁、x₂；
（2）设此方程的两个实数根为x₁、x₂，若

1

|x1|

-

1

|x2|

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式符号来证明方程的根的情况；
（2）利用因式分解法求得方程的两根，然后求k的值．

解答：（1）证明：△=k²-4×1×（-

3

4

k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此方程总有两个不等的实数根．

（2）解：方程x²+kx-

3

4

k²=0的解为x=

1

2

k或x=-

3

2

k．
∴

1

|x1|

-

1

|x2|

=|

2

k

|-|-

2

3k

|=

2

k

+

2

3k

=

2

3

∴解得，k=2．

点评：本题考查了根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．