Question

7．已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当此方程有一根为零时，将二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象x轴上方的部分组成给一个“W”形状的新图象，观察新图象发现：
①当直线y=m与该新图象有4个公共点时，实数m的取值范围是0＜m＜1．
②当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有3个公共点时，直接写出实数b的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出；
（2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，①根据图象直接判断出来；②结合图形确定出直线的位置即可求出b的值．

解答 解：（1）关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，
∴△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，
∴k＜3；

（2）∵关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0方程有一根为零
∴当x=0时，k=1，二次函数解析式为y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴抛物线y=x²+2x的顶点坐标为（-1，-1），
当y=0时，x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，
则抛物线y=x²+2x与x轴的交点为（-2，0），（0，0），
把抛物线y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），顶点坐标M（-1，1），
如图，
①当直线y=m与该新图象有4个公共点时，0＜m＜1
故答案为0＜m＜1；

②把直线y=$\frac{1}{2}$x向上平移，当平移后的直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0，解得b=1；
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的实数解，整理得x²+$\frac{5}{2}$x+b=0，△=（$\frac{5}{2}$）²-4b=0，解得b=$\frac{25}{16}$，
所以b的值为1或$\frac{25}{16}$．

点评 此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．