Question

16．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹⁵，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁶
将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁶-1         
即S=2²⁰¹⁶-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值；
（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ的值．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
将等式两边同时乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
将下式减去上式得：2S-S=2¹¹-1，即S=2¹¹-1，
则1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ①，
两边同时乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹②，
②-①得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-1），
则1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=$\frac{1}{2}$（3ⁿ⁺¹-1）．

点评 本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．