题目内容
已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，且OA，OB的长（OA＞OB）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根．（1）求点A，B的坐标及线段AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P，Q分别是线段AB和AC上的动点，连接PQ，设AP=CQ=x，问是否存在这样的x，使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的长度，即求得A、B的坐标，利用两点间的距离公式来求线段AB的长度；
（2）利用相似三角形△AOB∽△BOC的对应边成比例得到：
=
，把相关线段的长度代入求得OC=2.25，则易求点C的坐标；
（3）由于△APQ与△ABC已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于x的方程，就可解决问题．
（2）利用相似三角形△AOB∽△BOC的对应边成比例得到：
| AO |
| BO |
| OB |
| OC |
（3）由于△APQ与△ABC已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于x的方程，就可解决问题．
解答：解：（1）∵x2-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3，x2=4．
又OA，OB的长（OA＞OB）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，3）．
∴AB=
=
=5；
（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BCO（同角的余角相等），
∴△AOB∽△BOC，
∴
=
，即
=
，
∴OC=2.25，
则点C的坐标是（2.25，0）；
（3）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴
=
，
∵AP=CQ=x，
∴
=
，
解得x=
．
当△APQ与∽△ACB时，
=
，
即
=
，
解得：x=
．
综上所述，存在x的值为
或
，使得△APQ与△ABC相似．
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3，x2=4．
又OA，OB的长（OA＞OB）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，3）．
∴AB=
| AO2+BO2 |
| 42+32 |
（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BCO（同角的余角相等），
∴△AOB∽△BOC，
∴
| AO |
| BO |
| OB |
| OC |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| OC |
∴OC=2.25，
则点C的坐标是（2.25，0）；
（3）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴
| AP |
| PB |
| AQ |
| QC |
∵AP=CQ=x，
∴
| x |
| 5-x |
| 6.25-x |
| x |
解得x=
| 25 |
| 9 |
当△APQ与∽△ACB时，
| AP |
| AC |
| AQ |
| AB |
即
| x |
| 6.25 |
| 6.25-x |
| 5 |
解得：x=
| 125 |
| 36 |
综上所述，存在x的值为
| 25 |
| 9 |
| 125 |
| 36 |
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，属于中档题．
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