Question

17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，DE交对角线AC于 G．
（1）求证：$\frac{CF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$；
（2）求证：$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=1；
（3）若BF=CF，则$\frac{CG}{CA}$=$\frac{1}{2}$；
（4）若$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{CG}{CA}$=$\frac{2}{3}$；
（5）设$\frac{BF}{CF}$=x，$\frac{CG}{CA}$=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得AD∥AB，AD∥BC，AB=CD，再利用平行线分线段成比例定理由CF∥AD得到$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$，由DC∥AE得到$\frac{DC}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，然后利用等量代换即可得到结论；
（2）利用平行线分线段成比例定理，由BF∥AD得到$\frac{EF}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，由CF∥AD得到$\frac{CF}{AD}$=$\frac{FG}{DG}$，则$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=$\frac{BF}{AD}$+$\frac{CF}{AD}$，然后利用平行四边形的性质即可得到结论；
（3）利用平行线分线段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=1，则AE=2DC，然后利用DC∥AE即可得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
（4）利用平行线分线段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=2，则AE=$\frac{3}{2}$DC，然后由DC∥AE得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{2}{3}$；
（5）利用平行线分线段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{x}$，则AE=（1+x）DC，然后由DC∥AE得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{1+x}$，于是得到y=$\frac{1}{1+x}$．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥AB，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵DC∥AE，
∴$\frac{DC}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CD}{AE}$，
而AB=CD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$；
（2）证明：∵BF∥AD，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=$\frac{BF}{AD}$+$\frac{CF}{AD}$=$\frac{BF+CF}{AD}$=$\frac{BC}{AD}$=1；
（3）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，
而BF=CF，
∴DC=BE，
而DC=AB，
∴AE=2DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
（4）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，
而$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DC=2BE，
而DC=AB，
∴AE=$\frac{3}{2}$DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{2}{3}$；
故答案为$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$；
（5）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{x}$，
∴DC=xBE，
而DC=AB，
∴AE=（1+x）DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{1+x}$；
即y=$\frac{1}{1+x}$．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理；本题图中相似三角形较多，要针对每小题选择合适的相似三角形．