Question

16．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．
（1）∠ABC的大小；
（2）画出△ABC关于直线AB的对称图形△A₁B₁C₁；
（3）分别求出图中△ABC和△DEF的面积，并写出这两个三角形的边长比与面积比的关系式．

Answer 1

分析 （1）先利用网格特点，根据勾股定理求出△ABC各边的长，然后利用勾股定理说明此三角形为直角三角形，再证明它为等腰直角三角形，从而得到∠ABC的度数；
（2）利用网格特征作出点C关于AB的对称点C₁即可得到△A₁B₁C₁；
（3）同样利用勾股定理的逆定理可证明△DEF为直角三角形，∠EDF=90°，再利用三角形面积公式可计算出△ABC和△DEF的面积，从计算结果可得这两个三角形的面积的比等于对应边长比的平方．

解答 解：（1）AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
而AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
（2）如图，△A₁B₁C₁为所作；
（3）DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，DF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵DE²+EF²=EF²，
∴△DEF为直角三角形，∠EDF=90°，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$，
S_△ACB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△EFD}}$=（$\frac{AC}{ED}$）²．

点评 本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，可以确定一些特殊的对称点．也考查了对称轴的性质．