题目内容
13．
如图，在矩形OABC中，点C在x轴上，点A在y轴上，且OA，OC的长分别是一元二次方程x2-18x+80=0的两个根（OA＜OC），点E在BC上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在OC上．（1）求点A，点C的坐标；
（2）反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，求k的值；
（3）在直线AD，ED上是否分别存在点M和点N，使以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）解一元二次方程可求得OA、OC的长，则可求得点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质可得AD=AB，DE=BE，在Rt△AOD中可求得OD，则可求得CD，设CE=y，则可用y表示出DE的长，在Rt△CDE中，由勾股定理可得到关于y的方程，可求得CE的长，则可求得E点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（3）用待定系数法可求得直线AD、DE的解析式，则可设出点M的横坐标为t，当CD为平行四边形的边时，则用t可表示出MN，由MN=CD可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得M点的坐标；当CD为对角线时，如图4，过M作MG⊥OC于G，可知此时平行四边形为矩形，利用同角的三角函数求出MG、CG的长，从而可得点M的坐标．
解答 
解：（1）解方程x2-18x+80=0，可得x=10或x=8，
∵OA，OC的长分别是一元二次方程x2-18x+80=0的两个根（OA＜OC），
∴OA=8，OC=10，
∴A（0，8），C（10，0）；
（2）由折叠得：AD=AB=10，DE=BE，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∴CD=OC-OD=10-6=4，
设CE=y，则BE=DE=8-y，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：DE2=CE2+DC2，
即（8-y）2=y2+42，解得y=3，
∴E（10，3），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，
∴k=10×3=30；
（3）∵A（0，8），D（6，0），E（10，3），
∴设直线AD解析式为y=kx+8，
把D（6，0），A（0，8）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
设直线DE解析式为y=mx+s，
把D、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6m+s=0}\\{10m+s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{s=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线DE解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
∵点M在直线AD上，
∴设M（t，-$\frac{4}{3}$t+8），
∵以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴有CD为边和CD为对角线两种情况，
①当CD为边时，则MN∥CD，且MN=CD=4，
当M、N在x轴上方时，如图2，则N点坐标为（t+4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直线DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t+4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{114}{25}$
当t=$\frac{114}{25}$时，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{114}{25}$+8=$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
当M、N在x轴下方时，则N点坐标为（t-4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直线DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t-4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{186}{25}$
当t=$\frac{186}{25}$时，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{186}{25}$+8=-$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
②当CD为对角线时，如图4，过M作MG⊥OC于G，
由折叠得：∠ADE=∠B=90°，
∴∠EDM=90°，
∴?DMCN是矩形，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
sin∠EDC=$\frac{EC}{ED}=\frac{NC}{DC}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{NC}{4}$，
∴NC=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：DN=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DM=NC=$\frac{12}{5}$，CM=DN=$\frac{16}{5}$，
∵DN∥MC，
∴∠EDC=∠DCM，
sin∠EDC=sin∠DCM=$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{CM}$，
$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{\frac{16}{5}}$，
∴MG=$\frac{48}{25}$，
同理可得：CG=$\frac{64}{25}$，
∴OG=10-$\frac{64}{25}$=$\frac{186}{25}$，
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
综上所述，存在点M和点N，使以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）或（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）．
点评 本题是反比例函数、矩形、方程的综合题，考查了坐标与图形特点，矩形、平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，折叠等知识，综合性较强，难度适中，注意第三问中存在的平行四边形要采用分类讨论的思想，不要漏解，要从CD为边和对角线两方面考虑．
如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点B，C的坐标分别为（2，0），（6，0），点N从A点出发沿AC向C点运动，连接ON交AB于点M，当点M恰平分线段ON时，求线段CN的长．
（1）用适当的方法解下列一元二次方程：x2-6x+1=0．
如图，一次函数y=-x-1与反比例函数y=$\frac{m}{x}$在第二象限交于点A，一次函数y=-x-1与坐标轴分别交于B、C两点，连结AO，若tan∠AOB=$\frac{1}{3}$．