Question

5．如图，一次函数y=-x-1与反比例函数y=$\frac{m}{x}$在第二象限交于点A，一次函数y=-x-1与坐标轴分别交于B、C两点，连结AO，若tan∠AOB=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴上有一点D，使得△BCD的面积与△AOC的面积相等，求点D的坐标？

Answer 1

分析 （1）设出A点的坐标为（a，b）（a＜0），结合题意，由于tan∠AOB=$\frac{1}{3}$，易得出3b+a=0；又因为A点一次函数图象上，即有-a-1=b，两方程联立即可得出A点的坐标，代入反比例函数解析式中，得k，便可得出反比例函数解析式；
（2）利用一次函数解析式，得出C点的坐标，易得OC的长，结合（1），可得出点A到y轴的距离为A点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式，即可得出△AOC的面积．然后设出D的坐标，根据三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）设A（a，b），结合题意，
-a-1=b，
又tan∠AOB=$\frac{1}{3}$，
即有3b+a=0；
可得出a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
即A（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
代入反比例函数解析式中，有$\frac{1}{2}$=$\frac{m}{-\frac{3}{2}}$，
得m=$\frac{3}{4}$，
故反比例函数解析式为：y=$\frac{3}{4x}$；
（2）因为一次函数y=-x-1与坐标轴交C点，
令x=0，得y=-1，
即C（0，-1）；
所以OC=1；
又∵A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
即点A到x轴的距离为$\frac{1}{2}$，
因为一次函数y=-x-1与x轴交B点，
令y=0，得x=-1，
即B（-1，0）；
则OB=1，
所以S_△AOC=$\frac{1}{2}$OB•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{3}{4}$．
设D的横坐标是（m，0），
则BD=|m+1|．
则$\frac{1}{2}$|m+1|×1=$\frac{3}{4}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{2}$．
则D的坐标是（$\frac{1}{2}$，0）或（-$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合应用，以及三角形的面积的求法等知识点，题目较为简单，适合学生平时的练习使用．