Question

18．（1）用适当的方法解下列一元二次方程：x²-6x+1=0．
（2）如图，已知E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF，求证：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
（2）根据矩形对角线的性质，矩形对角线互相平分且相等，可知EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF，可知△BOE≌△COF，即可得出BE=CF．

解答 （1）解：x²-6x+1=0．
移项得，x²-6x=-1，
配方得，x²-6x+9=-1+9，
∴（x-3）²=8，
∴x-3=±2$\sqrt{2}$，
∴x₁=3+2$\sqrt{2}$，x₂=3-2$\sqrt{2}$．
（2）证明：∵矩形ABCD的对角线为AC和BD，
∴AO=CO=BO=DO，
∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF，
∴EO=FO，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{EO=FO}&{\;}\\{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{BO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴BE=CF．

点评 本题考查了配方法解一元二次方程，矩形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握配方法解一元二次方程和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．