Question

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．
（1）求AB的长；
（2）求EC的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，根据三角函数可求AC=$10\sqrt{3}$，∠DAC=30°，根据平行线的性质得到∠ACB=30°，在Rt△ACB中，根据三角函数可求AB的长；
（2）在Rt△ABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC=BC-BE即可求解．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60°，CD=10，
∴AC=$10\sqrt{3}$，∠DAC=30°，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC=30°，
∴在Rt△ACB中，
AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{10}{2}\sqrt{3}$=$5\sqrt{3}$．
（2）在Rt△ABE中，∠AEB=45°，
∴BE=AB=$5\sqrt{3}$，
由（1）可知，BC=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}\;×\;5\sqrt{3}$=15，
∴EC=BC-BE=$15-5\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，三角函数，根据三角函数求出线段的长是本题的基本思路．