Question

18．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，以AD为直径作圆O交AB于E，已知CD=2，则图中阴影部分的面积（用含x的代数式表示）为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到∠CAB=60°，AB=4，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD=30°，求得BC=6，设圆心为O，连接OE，DE，根据圆周角定理得到∠AED=90°，根据直角三角形的性质得到AE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，AB=4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∵CD=2，
∴AD=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=6，
∴BD=4，
设圆心为O，连接OE，DE，
∴∠DOE=2∠BAD=60°，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴DE=DC=2，
∵∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵OA=$\frac{1}{2}AD$=2，
∴S_扇形ODE=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∵OA=OD，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△ADB-S_扇形-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×$4×2\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}π$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．