Question

如图抛物线y=ax²+bx+c，经过A、B、C三点，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并求对称轴；
（2）能否在对称轴上找一点P，使△APC的周长最小？若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
（3）直线l平行x轴，交抛物线于DE，是否存在以DE为直径的圆与x轴相切？若存在，求该圆的半径；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据线段的性质，可得BC最短，根据垂直平分线的性质，可得PA与PB的关系，可得答案；
（3）根据韦达定理，可得两点间的距离，根据DE的一半等于D点的纵坐标，可得以DE为直径的圆与x轴相切，根据解无理方程，可得答案．

解答：解：：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）
代入抛物线y=ax²+bx+c中，
得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，解得：

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入上式，
得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；
当x=1时，y=2，
即P的坐标（1，2）；

（3）存在．
由y=-x²+2x+3得
-x²+2x+3-y=0
设一元二次方程的两根是x₁，x₂，
由韦达定理得x₁+x₂=2，x₁，•x₂=y-3，
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=4-4y+12=16-4y，

x1-x2

2

=

7-4y

2

由以DE为直径的圆与x轴相切，得

7-4y

2

=y
解得y=

2

-

1

2

，
该圆的半径是

2

-

1

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，（2）线段垂直平分线的性质，两点间线段最短；（3）先化成关于x的一元二次方程，由韦达定理求出DE的长度，D点的纵坐标就是圆的半径．