Question

已知抛去物线y=x²-2x-3交x轴于点A，B（点A在左，点B在右），交y轴于点C，顶点为D，求在抛物线的对称轴上求作一点M，使得△ACM为等腰三角形，求出M点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先求出A、C两点的坐标，运用分类讨论的数学思想，按AC为底或为腰两种情况来逐一解析，即可解决问题．

解答：解：当y=0时，x²-2x-3=0，解得：x=-1或3；
当x=0时，y=-3；
∴A、C两点的坐标分别为A（-1，0）、C（0，-3）；
对称轴方程为x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1；
设点M的坐标为M（1，λ）；
当AC为底时，MA=MC，即：

(1+1)2+(m-0)2

=

(1-0)2+(m+3)2

，
解得：m=-1；
当AC为腰时，AC=AM，即：

(-1-0)2+(-3-0)2

=

(1+1)2+(m-0)2

，
解得：m=±

6

，
综上所述，M点的坐标为（1，-1）或（1，

6

）或（1，-

6

）．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴交点及其应用问题；解题的关键是数形结合，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．