Question

1．正方形ABCD，点E在BC边上．AE⊥EF于E，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）如图2，当点E在BC中点时，你还能发现哪些三角形相似．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，则根据三角形相似的判定方法可判断△ABE∽△ECF；
（2）设正方形ABCD的边长为4a，则AB=4a，BE=CE=2a，则利用勾股定理可计算出AB=2$\sqrt{5}$a，再利用相似比计算出EF=$\sqrt{5}$a，则$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$=2，加上∠ABE=∠AEF，则可判断△ABE∽△AEF，于是有△ABE∽△AEF∽△ECF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
而∠AEF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：设正方形ABCD的边长为4a，则AB=4a，BE=CE=2a，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∵△ABE∽△ECF；
∴AE：EF=AB：EC，即2$\sqrt{5}$a：EF=4a：2a，
∴EF=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$=2，
而∠ABE=∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，
∴△ABE∽△AEF∽△ECF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了正方形的性质．