Question

如图，P为Rt△ABC斜边AB的中点，过P作PQ∥AC，且PQ=AC．证明：△APQ是等腰三角形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：根据直角三角形斜边上中线性质求出AP=CP，推出∠ACP=∠CAP，根据平行四边形的性质和判定推出∠Q=∠ACP，求出∠QPA=∠CAP，推出∠Q=∠APQ即可．

解答：证明：连接CP，
∵PQ∥AC，且PQ=AC，
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴∠ACP=∠Q，
∵∠ACB=90°，P为AB中点，
∴AP=CP，
∴∠CAP=∠ACP，
∵AC∥PQ，
∴∠CAP=∠QPA，
∴∠Q=∠QPA，
∴AQ=AP，
∴△APQ是等腰三角形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．