Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC=12，ED=3，求⊙O的半径；
（3）若△BED∽△BCA，请你说明△OBD为等边三角形．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的性质

专题：

分析：（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；
（2）OD⊥BC，则BE=CE=

1

2

BC=6，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径；
（3）证明△BEO≌△BED即可证得．

解答：解：（1）不同类型的正确结论有：
①BE=CE；
②弧BD=弧DC；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC…
（2）∵OD⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=6，
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-3，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE²+BE²=OB²，即（R-3）²+6²=R²，
解得R=

15

2

，
∴⊙O的半径为

15

2

．
（3）∵△BED∽△BCA，
则在△BEO和△BED中，

∠OEB=∠DEB BE=BE ∠OBE=∠DBE

，
∴△BEO≌△BED（ASA），
∴OB=BD，
∴OB=BD=OD，即△OBD是等边三角形．

点评：本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．