Question

7．已知二次函数y=x²-mx+4的图象与x轴交于A、B两点，且A、B两点间的距离为2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A、B两点的坐标为（a，0），（b，0），则|a-b|=2，根据根与系数的关系得到a+b=m，ab=4，利用完全平方公式得到（a+b）²-4ab=4，则m²-4×4=4，然后解方程求出m即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定最小值．

解答 解：（1）设A、B两点的坐标为（a，0），（b，0），则|a-b|=2，
∵a、b是方程x²-mx+4的两根，
∴a+b=m，ab=4，
∵（a-b）²=4，
∴（a+b）²-4ab=4，
∴m²-4×4=4，解得m=2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$，
∴抛物线解析式为y=x²-2$\sqrt{5}$x+4或y=x²+2$\sqrt{5}$x+4；
（2）∵y=x²±2$\sqrt{5}$x+4=（x±$\sqrt{5}$）²-1，
∴当x=$\sqrt{5}$或-$\sqrt{5}$时，二次函数的最小值为-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．