Question

17．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．
小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上3.5．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为$\sqrt{2}$a、$\sqrt{13}$a、$\sqrt{17}$a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上6.5a²；
探索创新：
（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意整数a，b，c，均有$\sqrt{{a^2}+{b^2}}+\sqrt{{b^2}+{c^2}}+\sqrt{{c^2}+{a^2}}≥\sqrt{2}$（a+b+c）．

Answer 1

分析 （1）根据图形得出S_△ABC=大矩形的面积-3个小三角形的面积，根据面积公式求出即可；
（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可；
（3）先画出图形，根据图形得到$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），依此即可证明．

解答 解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：
S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×3×2
=9-1-1.5-3
=3.5．
故答案为：3.5；

（2）如图2的△ABC，

S_△ABC=4a×3a-$\frac{1}{2}$×4a×a-$\frac{1}{2}$×3a×2a-$\frac{1}{2}$×a×a
=12a²-2a²-3a²-0.5a²
=6.5a²，
即△ABC的面积是6.5a²．
故答案为：6.5a²．

（3）证明：如图所示：

$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），a=b=c时等号成立．

点评 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度较大．