Question

15．如图，直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第四象限的交点为C．若点B与点C关于点A对称，且△BOC的面积为2．
（1）求a、k的值；
（2）问：在x轴上是否存在这样的点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B点坐标，再由点B与点C关于点A对称得出AB=AC，根据△BOC的面积为2求出OA的长，故可得出A点坐标，进而得出C点坐标，代入反比例函数即可得出k的值；
（2）存在，分两种情况考虑：以O为圆心OA长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂；以A为圆心，AO长为半径画弧，与x轴交于P₃、P₄点；分别求出坐标即可．

解答 解：（1）∵当x=0时，y=ax+1=1，
∴B（0，1）．
∵点B与点C关于点A对称，
∴AB=AC．
∵△BOC的面积为2，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$S_△BOC，即$\frac{1}{2}$×1×OA=1，解得OA=2，
∴A（2，0）．
把A（2，0）代入直线y=ax+1得，2a+1=0，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∵A（2，0），
∴点C的横坐标为4，
∴C点纵坐标为-1，
∴C（4，-1），
∴-1=$\frac{4}{x}$，解得k=-4．

（2）存在．
理由：∵B（0，1），C（4，-1），
∴BC=$\sqrt{（0-4）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
①以B为圆心BC长为半径画弧，与x轴交于点P₁，P₂，
∴OP₁=OP₂=$\sqrt{{BP}^{2}-{OB}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∴P₁（-$\sqrt{19}$，0），P₂（$\sqrt{19}$，0）；
以C为圆心，BC长为半径画弧，与x轴交于P₃、P₄，
此时P₃（4-$\sqrt{19}$，0），P₄（4+$\sqrt{19}$，0）；
综上，满足题意的P点坐标为P₁（-$\sqrt{19}$，0），P₂（$\sqrt{19}$，0），P₃（4-$\sqrt{19}$，0），P₄（4+$\sqrt{19}$，0）．

点评 此题考查的是反比例函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标求法，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．