Question

11．△ABC是边长为3等边三角形，点E，点F分别在AC、BC边上，连结AF、BE相交于点P，∠APE=60°．
（1）求证：△APE∽△ACF．
（2）若AE=1，求AP•AF的值．
（3）当P点处于线段BE什么位置时，△APE的面积等于四边形CFPE的面积？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AP}{AC}$，代入数据得到AP•AF=3；
（3）根据三角形的外角的性质得到∠ABP=∠EAP，由△ABC是等边三角形，得到∠C=∠BAC=60°，AB=AC，根据全等三角形的性质得到S_△APC=S_△BEA，推出BP=EP，即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠APE=60°，
∴∠C=∠APE，
∵∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF；

（2）∵△APE∽△ACF，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AP}{AC}$，
∵AC=3，AE=1，
∴AP•AF=3；

（3）∵∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠BAP+EAP=60°，
∴∠ABP=∠EAP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
在△AFC与△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEA，
∴S_△APC=S_△BEA，
∴S_△ABP=S_{四边形CFPE}，
若S_△APE=S_{四边形CFPE}，
则S_△ABP=S_△APE，
∴BP=EP，即P是BE的中点．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．