如图1所示.已知:点A在双曲线C:y=$\frac{a}{x}$上.直线l1:y=-x+2.直线l2与l1关于原点成中心对称.F1(2.2).F2两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B.P是曲线C上第一象限内异于B的一动点.过P作x轴平行线分别交l1.l2于M.N两点．(1)求双曲线C及直线l2的解析式,(2)求证:PF2-PF1=MN=4,(3)如图2所示.△PF1F2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1所示，已知：点A（-2，-1）在双曲线C：y=$\frac{a}{x}$上，直线l₁：y=-x+2，直线l₂与l₁关于原点成中心对称，F₁（2，2），F₂（-2，-2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l₁，l₂于M，N两点．
（1）求双曲线C及直线l₂的解析式；
（2）求证：PF₂-PF₁=MN=4；
（3）如图2所示，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂，PF₁，PF₂三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点间的距离公式为AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．）

分析（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l₂上两点的坐标，求出解析式；
（2）设P（x，$\frac{2}{x}$），利用两点距离公式分别求出PF₁、PF₂、PM、PN的长，相减得出结论；
（3）利用切线长定理得出$\left\{\begin{array}{l}{PR=PS}\\{{F}_{1}R={F}_{1}Q}\\{{F}_{2}S={F}_{2}Q}\end{array}\right.$，并由（2）的结论PF₂-PF₁=4得出PF₂-PF₁=QF₂-QF₁=4，再由两点间距离公式求出F₁F₂的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B重合．

解答解：（1）解：把A（-2，-1）代入y=$\frac{a}{x}$中得：
a=（-2）×（-1）=2，
∴双曲线C：y=$\frac{2}{x}$，
∵直线l₁与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（-2，0）、（0，-2），
∴l_2：y=-x-2
（2）设P（x，$\frac{2}{x}$），
由F₁（2，2）得：PF₁²=（x-2）²+（$\frac{2}{x}$-2）²=x²-4x+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{8}{x}$+8，
∴PF₁²=（x+$\frac{2}{x}$-2）²，
∵x+$\frac{2}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}+2-2x}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{x}$＞0，
∴PF₁=x+$\frac{2}{x}$-2，
∵PM∥x轴
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+$\frac{2}{x}$-2，
∴PM=PF₁，
同理，PF₂²=（x+2）²+（$\frac{2}{x}$+2）²=（x+$\frac{2}{x}$+2）²，
∴PF₂=x+$\frac{2}{x}$+2，PN=x+$\frac{2}{x}$+2
因此PF₂=PN，
∴PF₂-PF₁=PN-PM=MN=4，
（3）△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂，PF₁，PF₂三边分别相切于点Q，R，S，
∴$\left\{\begin{array}{l}{PR=PS}\\{{F}_{1}R={F}_{1}Q}\\{{F}_{2}S={F}_{2}Q}\end{array}\right.$，
∵PF₂-PF₁=PS+F₂S-（PR+F₁R）=PS+F₂S-PR-F₁R=F₂S-F₁R=QF₂-QF₁，
由（2）得：PF₂-PF₁=4，
∴QF₂-QF₁=4，
又∵QF₂+QF₁=F₁F₂=4$\sqrt{2}$，QF₁=2$\sqrt{2}$-2，
∴QO=2，
∵B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OB=2=OQ，
所以，点Q与点B重合．