某商品现在售价为每件40元.每天可卖200件.该商品将从现在起进行90天的销售:在第x天内.当天售价都较前一天增加1元.销量都较前一天减少2件,在x天内.当天的售价都是90元.销售仍然是较前一天减少2件.已知该商品的进价为每件30元.设销售商品的当天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式,(2)销售该商品第几天时.当天销售利润最大.最大利� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．某商品现在售价为每件40元，每天可卖200件，该商品将从现在起进行90天的销售：在第x（1≤x≤49）天内，当天售价都较前一天增加1元，销量都较前一天减少2件；在x（50≤x≤90）天内，当天的售价都是90元，销售仍然是较前一天减少2件，已知该商品的进价为每件30元，设销售商品的当天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天销售利润不低于4800元？

分析（1）根据：总利润=（售价-成本）×销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，比较大小可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，解不等式即可的x的范围，可得答案

解答解：（1）当1≤x≤49时，当天售价为（40+x）元，出售商品（200-2x）件．
∴y=（40+x-30）（200-2x）=-2x²+180x+2000；
当50≤x≤90时，当天售价为90元，出售量为（200-2x），
∴y=（90-30）（200-2x）=-120x+12000；
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000}&{（1≤x≤49）}\\{-120x+12000}&{（50≤x≤90）}\end{array}\right.$．

（2）当1≤x≤49时，y=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴当x=45时，y取得最大值6050；
当50≤x≤90时，由y=-120x+12000知，y随x的增大而减小，
∴当x=50时，y取得最大值6000．
∵6050＞6000，
∴销售该商品第45天时，销售利润最大，最大利润为6050元．

（3）①当1≤x≤49时，-2x²+180x+2000≥4800，
解得：20≤x≤70，
∴20≤x≤49；
②当50≤x≤90时，-120x+12000≥4800，
解得：x≤60，
∴50≤x≤60；
综上，20≤x≤60，
∴从第20天起直到第60天止，每天的销售利润都不低于4800元，
故共有41天当天销售利润不低于4800元．