Question

某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某生按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．

（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．

∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，

∴当x=25时，p有最小值500．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．