Question

17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为AB上一个动点，连接CP，在CP顺时针的方向，以PC为斜边作△PCE，PE=CE，∠PEC=90°，连接AE．
（1）如图①，当∠BCP=22.5°时，求证：AE平分∠BAC；
（2）如图②，延长AE交BC的延长线于点D，求证：AE=DE；
（3）在（2）的条件下，连接BE，交AC于点O，若BE平分∠ABC，AC=（$\sqrt{2}$+1）CD，求$\frac{OE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）∠先求出APC=67.5°，再根据三角形的内角和得出∠ACP=67.5°=∠APC，即AP=AC进而判断出在△PAE≌△CAE，即可得出∠PAE=∠CAE，即可；
（2）先判断出∠PFC=∠PAC，即可得出A，P，C，F四点共圆，即∠CAF=∠CPF=45°，最后用同角或等角的余角相等即可得出结论；
（3）先判断出∠AEO=∠ACD=90°，进而判断出△AOE∽△ADC，即可得出$\frac{OE}{AE}=\frac{CD}{AC}$代值化简即可得出结论．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵∠APC=∠B+∠BPC=45°+22.5°=67.5°，
∴∠ACP=180°-∠BAC-∠APC=67.5°=∠APC，
∴AP=AC，
∵△PCE是等腰直角三角形，
∴∠EPC=∠ECP，
∴∠APE=∠ACE，
在△PAE和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=AC}\\{∠APE=∠ACE}\\{PE=CE}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△CAE，
∴∠PAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
（2）如图③，

延长PE至F，使EF=PE，延长AF，CF，
∴∠PFC=45°，
∵∠PAC=45°，
∴∠PFC=∠PAC，
∴A，P，C，F四点共圆，
∴∠CAF=∠CPF=45°，
∴∠PAF=45°+45°=90°，
∵PE=EF，
∴AE=PE，
∵PE=CE，
∴AE=CE，
∴∠CAD=∠ACE，
∵∠CAE+∠D=90°，∠ACE+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠D，
∴CE=DE，∴AE=DE，
（3）在△ABD中，∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE，AE=BE，
∴BE⊥AD，
∴∠AEO=∠ACD=90°，
∵∠CAD=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{CD}{AC}$，
∵AC=（$\sqrt{2}$+1）CD，
∴$\frac{OE}{AE}=\sqrt{2}-1$，
∵AE=CE，
∴$\frac{OE}{CE}=\sqrt{2}-1$，

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，作出辅助线是解本题的关键，是一道比较好的中考常考题．